İkinci Dereceden Denklemler
$a,b,c \in \mathbb{R}$ ve $a \ne 0$ olmak üzere $ax^{2}+bx+c=0$ biçimindeki denklemlere reel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
Denklemi sağlayan her bir $x$ değerine denklemin sıfırları ya da kökü denir.
Kök Bulma
Denklemin köklerini bulmak için öncelikle daha pratik olan Çarpanlara Ayırma Metodu denenir. Eğer denklemi pratik bir şekilde çarpanlarına ayıramıyorsak Diskriminant Yöntemi'ne geçilir.
Çarpanlara Ayırma Metodu
$ax^{2}+bx+c=0$ denklemi $a=a_1 \cdot a_2$ ve $c=c_1 \cdot c_2$ iken $a_1 \cdot c_2 + a_2 \cdot c_1 =b$ şartını sağlıyorsa $(a_1x+c_1) \cdot (a_{2}x +c_2)=0$ şeklinde çarpanlara ayrılır. Her bir çarpanı sıfırlayan $x$ değerleri bulunur.
Denklemin kökleri $x_1$, $x_2$ olmak üzere $\displaystyle x_1=-\frac{c_1}{a_1}$ ve $\displaystyle x_2=-\frac{c_2}{a_2}$ olur.
Diskriminant Yöntemi
$ax^{2}+bx+c=0$ denklemini tam kareye tamamlayıp daha sonra $x$ değer ya da değerlerini bulmaya çalışacağız.
$$
\begin{aligned}
ax^{2}+bx+c &= 0 \newline
ax^{2}+bx &= -c \newline
x^{2}+\frac{b}{a}x &= -\frac{c}{a} \newline
x^{2}+\frac{b}{a}x + \frac{b^{2}}{4a^{2}} &= \frac{b^{2}}{4a^{2}} -\frac{c}{a} \newline
\left( x+\frac{b}{2a} \right)^{2} &= \frac{b^{2}}{4a^{2}} -\frac{c}{a}
\end{aligned}
$$
Son elde ettiğimiz denklemde sağ tarafta payda eşitleyip $x$'i yalnız bırakmak için her iki tarafın karekökünü alarak ilerleyeceğiz.
$$
\begin{aligned}
\left( x+\frac{b}{2a} \right)^{2} &= \frac{b^{2}}{4a^{2}} -\frac{c}{a} \newline
\left( x+\frac{b}{2a} \right)^{2} &= \frac{b^{2}}{4a^{2}} -\frac{4ac}{4a^{2}} \newline
\left( x+\frac{b}{2a} \right)^{2} &= \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} \newline
x+\frac{b}{2a} &= \pm \sqrt\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} \newline
x &= -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \newline
x &= \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \newline
\end{aligned}
$$
Son satırda elde ettiğimiz denklem ile kökleri bulduk. Bu işlemleri daha pratik bir şekilde yapabilmek için son denklemde yer alan ifadeyi $\Delta = b^{2}-4ac$ olarak tanımlıyoruz ve daha sade biçimde
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt\Delta}{2a}
$$
şeklinde ifade ediyoruz.
Diskriminantın Durumlarına Göre Kök Sayısı
- Eğer $\Delta>0$ ise 2 farklı reel kök elde edilir.
- Eğer $\Delta=0$ ise 2 eşit (çakışık) kök elde edilir.
- Eğer $\Delta<0$ ise denklemin reel kökü yoktur.
Bunları daha iyi anlamak için denkleme göz atın. $\Delta$ sıfıra eşit olduğunda $\sqrt\Delta$ da sıfır olacağından kökler eşit oldu.
Reel sayılarda çift dereceli köklerin içine negatif sayı yazılamadığından $\Delta$ negatif olduğunda reel kök elde edilemedi. Bu durumda Karmaşık Sayılar konusuna göz atılmalıdır.
Kökler Arası İlişki
Kökleri bulmak için kullandığımız $\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt\Delta}{2a}$ denklemini $\displaystyle x_1 = \frac{-b + \sqrt\Delta}{2a}$ ve $\displaystyle x_2 = \frac{-b - \sqrt\Delta}{2a}$ biçiminde ifade edelim.
Şimdi köklerimiz olan $x_1$ ve $x_2$ ile kökler toplamı, kökler çarpımı ve kökler farkını bulalım.
Kökler Toplamı
$$
\begin{aligned}
x_1 + x_2 &= \frac{-b + \sqrt\Delta}{2a} + \frac{-b - \sqrt\Delta}{2a} \newline
&= \frac{-b + \sqrt\Delta -b - \sqrt\Delta}{2a} \newline
&= \frac{-2b}{2a} \newline
&= \frac{-b}{a}
\end{aligned}
$$
Kökler Çarpımı
$$
\begin{aligned}
x_1 \cdot x_2 &= \frac{-b + \sqrt\Delta}{2a} \cdot \frac{-b - \sqrt\Delta}{2a} \newline
&= \frac{b^{2} - \Delta}{4a^{2}} \newline
&= \frac{b^{2} - (b^{2}-4ac)}{4a^{2}} \newline
&= \frac{4ac}{4a^{2}} \newline
&= \frac{c}{a}
\end{aligned}
$$
Kökler Farkı
$$
\begin{aligned}
x_1 - x_2 &= \frac{-b + \sqrt\Delta}{2a} - \frac{-b - \sqrt\Delta}{2a} \newline
&= \frac{-b + \sqrt\Delta +b + \sqrt\Delta}{2a} \newline
&= \frac{2\sqrt\Delta}{2a} \newline
&= \frac{\sqrt\Delta}{a}
\end{aligned}
$$
Son denklemde kökler arası uzaklığı bulmak için kökler farkını mutlak değer içine alırsak $\sqrt\Delta$ negatif olamayacağından paydayı mutlak değer içine almak yeterli olacaktır.
$$
|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt\Delta}{|a|}
$$
