Karmaşık Sayılar
Sanal Sayı
$x^{2}=-1$ denklemini sağlayan herhangi bir gerçel sayı yoktur. Bu nedenle yeni bir sayı kümesine daha ihtiyaç duyulur. Bu durumda gerçel olmayan ve karesi -1 olan bir sayı tanımlanmıştır.
$\sqrt{-1}$ sayısına sanal sayı (imajiner sayı) birimi denir.
$i=\sqrt{-1}$ veya $i^{2}=-1$ biçiminde gösterilir. Kök içinde bulunan diğer tüm negatif sayılar -1'in katı şeklinde yazılır ve -1 kök dışına $i$ olarak çıkarılır.
$\sqrt{-16}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{-1}=4i$ dir.
$a,b\in\mathbb{R}$ olmak üzere,
- $a \geq 0$ ve $b \geq 0$ için $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a \cdot b}$
- $a < 0$ veya $b < 0$ için $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\ne\sqrt{a \cdot b}$
olduğuna dikkat edilmelidir.
$a=-9$ ve $b=-4$ için $\sqrt{-9 \cdot -4}=\sqrt{36}=6$ olur, $\sqrt{-9 \cdot -4}=\sqrt{-9}\cdot\sqrt{-4}=3i \cdot 2i = 6i^{2} = -6$
Sanal Sayı Biriminin Kuvvetleri
$n,k \in \mathbb{Z}$ olmak üzere,
$$
i^{n} =
\begin{cases}
1&, &n=4k \newline
i&, & n=4k+1 \newline
-1&, & n=4k+2 \newline
-i&, & n=4k+3
\end{cases}
$$
Karmaşık Sayılar
$a,b\in\mathbb{R}$ ve $i^{2}=-1$ olmak üzere,
$$
z=a+bi
$$
biçimindeki sayılara karmaşık sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi $\mathbb{C}$ ile gösterilir.
$$
\mathbb{C}={z | z=a+bi \,\,\, \text{ve} \,\,\, a,b\in\mathbb{R}}
$$
$z=a+bi$ sayısında;
- $a$ sayısına karmaşık sayının gerçek kısmı denir ve $Re(z)=a$ biçiminde gösterilir.
- $b$ sayısına karmaşık sayının sanal kısmı denir ve $Im(z)=b$ biçiminde gösterilir.
Bütün gerçel sayılar aynı zamanda karmaşık sayıdır. (Sanal kısmı 0 olan sayılardır)
$z_1=a+bi$ ve $z_2=c+di$ karmaşık sayıları eşit ise sayıların gerçek ve sanal kısımları birbirine eşittir.
$$
z_1=z_2 \implies a=c \,\,\, \text{ve} \,\,\, b=d
$$
$z=a+bi$ karmaşık sayısı verildiğinde $a+(-b)i$ sayısına $z$ sayısının eşleniği denir ve $\overline{z}$ ile gösterilir.