Logaritma

Üstel Fonksiyon

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+$ olmak üzere, $a>0$ ve $a\neq1$ için $f(x)=a^x$ şeklinde tanımlanan fonksiyonlara üstel fonksiyon denir.

• Tanım kümesi reel sayılar olduğundan herhangi bir reel sayıyı üs olarak alabiliriz.
• Pozitif bir sayının ($a>0$) her türlü kuvveti pozitif olduğundan değer kümesi pozitif reel sayılar olur.

Üstel Fonksiyonun Özellikleri

1. $0<a<1$ için azalan fonksiyondur.
2. $a>1$ için artan fonksiyondur.
3. Süreklidir.
4. Birebir ve örtendir.
5. $f(0)=a^0=1$
6. $f(1)=a$
7. $\displaystyle f(-x)=\frac{1}{f(x)}$

Üstel fonksiyon birebir ve örten olduğundan tersi vardır.

Logaritma Fonksiyonu

$a>0$ ve $a\neq1$ olmak üzere, $y=a^x$ üstel fonksiyonunun tersi $x=\log_a y$ logaritma fonksiyonudur.

Başka bir deyişle: $\log_a x = y \Leftrightarrow a^y = x$

$\displaystyle f(x)=log_a x$

• Üstel fonksiyonun tersi olduğundan tanım kümesi pozitif reel sayılardır. Bu nedenle logaritması alınacak sayı pozitif olmalıdır.
• Yine üstel fonksiyonun tersi olduğundan değer kümesi tüm reel sayılardır.

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri

1. $\log_a a = 1$ ve $\log_a 1 = 0$
2. $\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$
3. $\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a x – \log_a y$
4. $\displaystyle \log_a^n x^m = \frac{m}{n} \cdot \log_a x$
5. $a^{\log_b x} = x{\log_b a}$ ve $a^{\log_a x}=x^{\log_a a}=x$
6. $\displaystyle \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$
7. $\displaystyle \log_a b = \frac{1}{\log_b a}$
8. $\log_a x = \log_a y$ ise $x = y$
9. $\log_{10} x = \log x$ ve $\log_e x = \ln x$
10. $0<a<1$ için logaritma fonksiyonu azalan fonksiyondur.
11. $a>1$ için logaritma fonksiyonu artan fonksiyondur.