Tanım
Pozitif tam sayılar kümesinden ($\mathbb{Z}$) gerçek sayılar kümesine ($\mathbb{R}$) tanımlı her fonksiyona gerçek sayı dizisi veya kısaca dizi denir.
$f:\mathbb{Z}^{+}\to\mathbb{R}$ ve $f\left(n\right)=a_n$ olmak üzere, $\forall n \in \mathbb{Z}^{+}$ için $a_n\in\mathbb{R}$ olmalıdır.
- $n=1$ için $f\left(1\right)=a_1$ dizinin 1. terimi
- $n=2$ için $f\left(2\right)=a_2$ dizinin 2. terimi
- ...
- $n=n$ için $f\left(n\right)=a_n$ dizinin n. terimi
şeklinde ifade edilir.
Diziler genel terimleri ile belli olur. Genel terimi belli olmayan ifadeler dizi değildir. Genel terimi $a_n$ olan dizi $\left(a_n\right)$ olarak gösterilir.
$$
\left(a_n\right)=\left(a_1,a_2,a_3,...,a_n\right)
$$
Sonlu Dizi
$ {1,2,3,...,n} $ sonlu kümesinden $\mathbb{R}$'ye tanımlanan fonksiyonlara sonlu dizi denir.
İndirgemeli Diziler
Her terimi diğer terimlerden biri veya birkaçıyla tanımlanan dizilere indirgemeli dizi denir.
Sabit Dizi
$c\in\mathbb{R}$ olmak üzere, $\forall n \in \mathbb{Z}^{+}$ için genel terimi $a_n=c$ olan $\left(a_n\right)$ dizisine sabit dizi denir.
$$
\left(a_n\right)=\left(c,c,c,...,c\right)
$$
$\displaystyle \left(a_n\right)=\left(\frac{an+b}{cn+d}\right)$ dizisi sabit dizi ise $\displaystyle \frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ olur. Bunu oran-orantı konusunda öğreniyoruz. Benzer durumu sabit polinom ve sabit fonksiyonda da görüyoruz.
Eşit Diziler
Tüm terimleri aynı olan dizilere eşit dizi denir.
Her $n\in\mathbb{Z}^+$ için
- $a_1=b_1$
- $a_2=b_2$
- ...
- $a_n=b_n$
ise $\left(a_n\right)$ dizisi ile $\left(b_n\right)$ dizisi eşittir.
Aritmetik Dizi
Ardışık iki teriminin farkı sabit olan dizilere aritmetik dizi denir.
Her $n\in\mathbb{Z}^+$ için $a_{n+1}-a_n=d$ olacak şekilde bir $d$ reel sayısı varsa; $\left(a_n\right)$ dizisine aritmetik dizi, $d$ sayısına da $\left(a_n\right)$ aritmetik dizisinin ortak farkı denir.
İlk terimi $a_1$ ve ortak farkı $d$ olan $\left(a_n\right)$ aritmetik dizisinin genel terimi
$$
a_n=a_1+\left(n-1\right)\cdot d
$$
olur.
Genel terimi birinci dereceden denklem (doğrusal) olan tüm diziler aritmetik dizidir.
Aritmetik Dizinin Özellikleri
$p,k,m,t\in\mathbb{Z}^+$ ve $\left(a_n\right)$ ortak farkı $d$ olan bir aritmetik dizi olmak üzere,
$$
a_n=a_p+\left(n-p\right)\cdot d
$$
$$
a_ {n+k} + a_ {n-k} = 2 \cdot a_n
$$
$p+k=m+t$ ise
$$
a_p+a_k=a_m+a_t
$$
olur.
Aritmetik Dizinin İlk n Terim Toplamı
$\left(a_n\right)$ aritmetik dizisinin ilk n terim toplamı,
$$
s_n=\frac{n}{2}\left(a_1+a_n\right)
$$
veya $a_n=a_1+\left(n-1\right)\cdot d$ olduğundan
$$
s_n=\frac{n}{2}[ 2a_1 + \left( n-1 \right) \cdot d]
$$
Geometrik Dizi
Ardışık herhangi iki teriminin oranı eşit olan dizilere geometrik dizi denir.
Her $n\in\mathbb{Z}^+$ için
$$
\frac{a_n+1}{a_n}=r
$$
olacak şekilde bir $r$ reel sayısı varsa; $\left(a_n\right)$ dizisine geometrik dizi, $r$ sayısına da $\left(a_n\right)$ geometrik dizisinin ortak çarpanı (oranı) denir.
İlk terimi $a_1$ ve ortak çarpanı $r$ olan $\left(a_n\right)$ geometrik dizisinin genel terimi
$$
a_n=a_1 \cdot r^{n-1}
$$
olur.
Genel terimi üstel denklem olan tüm diziler geometrik dizidir.
Geometrik Dizinin Özellikleri
$p,k,m,t\in\mathbb{Z}^+$ ve $\left(a_n\right)$ ortak çarpanı $r$ olan bir geometrik dizi olmak üzere,
$$
a_n = a_p \cdot r^{n-p}
$$
$$
a_ {n}^{2} = a_ {n-k} \cdot a_{n+k}
$$
$p+k=m+t$ ise
$$
a_p \cdot a_k = a_m \cdot a_t
$$
olur.
Hem aritmetik hem de geometrik olan dizi sabit dizidir.
$d$ ortak fark ve $r$ ortak çarpan olmak üzere, $d=0$ ve $r=1$ olur.
Geometrik Dizinin İlk n Terim Toplamı
$\left(a_n\right)$ geometrik dizisinin ilk n terim toplamı
$$
s_n = a_1 \cdot \frac{1-r^{n}}{1-r} = a_1 \cdot \frac{r^{n}-1}{r-1}
$$
