Üstel Fonksiyon
$ a>0 $ ve $ a \ne 1 $ olmak üzere, $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{+}$, $f(x)=a^{x}$ şeklinde tanımlanan fonksiyonlara üstel fonksiyon denir. Üstel fonksiyonlar 1-1 ve örten fonksiyonlardır. $a$ nın şartları ve görüntü kümesinin $ \mathbb{R}^{+} $ olması bu nedenledir.
Hatırlatma: Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için gerek ve yeter şart 1-1 ve örten olmasıdır.
Logaritma Fonksiyonu
$ f\left(x\right)=a^{x} $ üstel fonksiyonunun tersi olan $f^{-1}\left(x\right)$ fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir ve $f^{-1} \left(x\right)=\log_a{x}$ şeklinde gösterilir.
$\log_{a}x$ ifadesi "logaritma a tabanında x" şeklinde okunur.
$ \displaystyle x=a^{y} \iff y=\log_{a}x $
Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri
Tabanı 10 olan logartima fonksiyonuna bayağı (onluk) logaritma fonksiyonu denir.
$ \displaystyle y=\log_{10}x=\log{x} $
şeklinde yazılır.
$\lim\limits_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} $ limitinin sonucu $ e$ sabitini verir. Bu sayı irrasyoneldir ve bu sayıya Euler Sabiti denir.
$ \displaystyle e=2,718281... $
Tabanı $e$ olan logaritma fonksiyonuna doğal logaritma fonksiyonu denir.
$ \displaystyle y=\log_{e}x=\ln{x} $
$a>0$, $x>0$, $y>0$ ve $a\ne 1 $ olmak üzere,
- $\displaystyle \log_a a=1$ ve $\log_a 1=0$
- $ \displaystyle \log_{a^{n}} x^{m}=\frac{m}{n}\cdot\log_a x$
- $ \displaystyle \log_a \left(x \cdot y \right)=\log_a x+\log_a y$
- $ \displaystyle \log_a \left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y$
- $ \displaystyle y^{\log_a x}=x^{\log_a y}$ ve $a^{\log_a x}=x^{\log_a a}=x $
Taban Değiştirme Kuralı
a, b, x ve y, 1'den farklı pozitif reel sayılar olmak üzere,
$ \displaystyle \log_y x=\frac{\log_a x}{\log_a y} $
eşitliğine taban değiştirme kuralı denir.
- $ \displaystyle \log_a b=\frac{1}{\log_{b}a} $
- $ \displaystyle \log_a b \cdot \log_b y \cdot \log_y x = \log_{a} x $
Logaritmalı Eşitsizlikler
$ 0<a<1 $ iken
$\log_a f(x)>\log_a g(x) $ ise $f\left(x\right)<g\left(x\right)$
$ a>1 $ iken
$\log_{a} f\left(x\right)> \log_a g(x)$ ise $f\left(x\right)>g\left(x\right)$
olur.
Burada $ f\left(x\right)>0 $ ve $ g\left(x\right)>0 $ olduğu unutulmamalıdır.